Question

已知如图，抛物线t=ax²+bx+c与x轴相交于B（1，0）、C（4，0）两点，与y轴的正半轴相交于A点，过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A，M为y轴负半轴上的一个动点，直线MB交抛物线于N，交⊙P于D．
（1）填空：A点坐标是______，⊙P半径的长是______，a=______，b=______，c=______；
（2）若S_△BNC：S_△AOB=15：2，求N点的坐标；
（3）若△AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似，求MB•MD的值．

Answer 1

（1）将B（1，0）、C（4，0）两点坐标代入抛物线t=ax²+bx+c得：

a+b+c=0 16a+4b+c=0

解得

b=-5a c=4a

①
由题意可知：PA=PB=PC，且PA⊥y轴，
设P点坐标为P（2.5，y_A ），由题意可知PA=PB=PC=2.5，
根据勾股定理可求得y_A=2，
∴A点坐标是（0，2），⊙P半径为的长为2.5，
将A点坐标代入抛物线方程可得2=c，
联立①式便可解得a=0.5，b=-2.5，c=2．
∴抛物线的方程为t=0.5x²-2.5x+2，
故答案为：（0，2），2.5，0.5，-2.5，2；

（2）S_△BNC：S_△AOB=

1 2 ×BC×yN

1 2 ×OB×OA

=

3×yN

1×2

=

15

2

，
解得y_N=5，
将y_N=5代入抛物线的方程t=0.5x²-2.5x+2得：x₁=-1，x₂=6，
观察图形可知x₂=6符合题意，
∴N点的坐标为N（6，5）；

（3）由题意可知△AOB∽△DBA，

AB

DA

=

AO

DB

=

OB

BA

，
∵OA=2，OB=1，
由勾股定理可知AB=

5

，根据三角形相似可知BD=2

5

，
由射影定理可知：AB²=MB×BD，
(

5

)2=MB×2

5

，
解得MB=

5

2

，MD=MB+BD=

5 5

2

，
∴MB•MD=

5

2

×

5 5

2

=

25

4

．