解:(1)∵AC为⊙D的直径,
∴BC⊥AB,
∴由已知可得点C(1,
),
设抛物线解析式是y=a(x-2)
2+k,
将(0,0)、(1,
)得:
,
解得:
,
故抛物线的解析式为:
,
设直线x=2与x轴交于点F,则CB∥EF,
∴△ACB∽△AEF,
∴
,即
,
∴EF=
,
∴E(2,
),
当x=2时,
,
∴抛物线经过点E.
(2)抛物线与x轴的另一个交点N(4,0),设M(x,y),
过C,M分别作x轴的垂线,垂足为G,H,
S
△CMN=S
CGHM+S
△HMN-S
△CGN=
(y+
)(x-1)+
y(4-x)-
×3×
=
=
=
=-
(x-
)
2+
(1≤x≤4),
当x=
时,S
△CMN的最大值是
.
分析:(1)首先判断BC⊥AB,然后求出点C坐标,根据抛物线的对称轴为x=2,可设抛物线解析式是y=a(x-2)
2+k,将(0,0)及点C的坐标代入可得出a、k的值,继而得出抛物线解析式,求出点E的坐标后,代入即可判断此抛物线是否过点E.
(2)根据题意画出图形,抛物线与x轴的另一个交点N(4,0),设M(x,y),过C,M分别作x轴的垂线,垂足为G,H,则根据S
△CMN=S
CGHM+S
△HMN-S
△CGN,可得△CMN的面积关于x、y的表达式,将
,代入可得△CMN的面积关于x的表达式,利用配方法求最值即可.
点评:本题考查了二次函数的综合,涉及了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征,难点在第二问,关键是作出图形,得出面积关于x的表达式,要求同学们熟练配方法求二次函数最值的应用.