已知如图.在平面直角坐标系xOy中.点A.B.C分别为坐标轴上的三个点.且OA=1.OB=3.OC=4.(1)求经过A.B.C三点的抛物线的解析式,(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P.使得以点A.B.C.P为顶点的四边形为菱形?若存在.请求出点P的坐标,若不存在.请说明理由,(3)若点M为该抛物线上一动点.在(2)的条件下.请求出当|PM-AM|的最大值时点M的坐标.并直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

1．

已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM-AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM-AM|的最大值．

解答解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵A（1，0）、B（0，3）、C（-4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=0\\ c=3\\ 16a-4b+c=0\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{3}{4}$，b=-$\frac{9}{4}$，c=3，
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x+3；
（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：
∵OB=3，OC=4，OA=1，
∴BC=AC=5，
当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，
∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，
∴点P的坐标为（5，3），
当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形；
（3）设直线PA的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（1，0），P（5，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}5k+b=3\\ k+b=0\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{3}{4}$，b=-$\frac{3}{4}$，
∴直线PA的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{4}$，
当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM-AM|＜PA，
当点M与点P、A在同一直线上时，|PM-AM|=PA，
∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM-AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\\ y=-\frac{3}{4}{x^2}-\frac{9}{4}x+3\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=1\\{y_1}=0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=-5\\{y_2}=-\frac{9}{2}\end{array}\right.$，
∴点M的坐标为（1，0）或（-5，-$\frac{9}{2}$）时，|PM-AM|的值最大，此时|PM-AM|的最大值为5．

点评此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

11．已知：如图1，在平面直角坐标中，A（12，0），B（6，6），点C为线段AB的中点，点D与原点O关于点C对称．
（1）利用直尺和圆规在图1中作出点D的位置（保留作图痕迹），判断四边形OBDA的形状，并说明理由；
（2）在图1中，动点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA运动，到达点A时停止；同时，动点F从点O出发，以每秒a个单位的速度沿OB→BD→DA运动，到达点A时停止．设运动的时间为t（秒）．
①当t=4时，直线EF恰好平分四边形OBDA的面积，求a的值；
②当t=5时，CE=CF，请直接写出a的值．