Question

11．由$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$；
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；
$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
…
你能总结出$\frac{1}{n（n+1）}$=？（n为正整数）
并试着化简：
（1）$\frac{1}{x（x+1）}$+$\frac{1}{（x+1）（x+2）}$+$\frac{1}{（x+2）（x+3）}$+…+$\frac{1}{（x+8）（x+9）}$；
（2）$\frac{1}{（x-2）（x-3）}$-$\frac{2}{（x-1）（x-3）}$+$\frac{1}{（x-1）（x-2）}$；
（3）解方程$\frac{1}{{x}^{2}-5x+6}$-$\frac{1}{{x}^{2}-4x+3}$+$\frac{1}{{x}^{2}-3x+2}$=$\frac{1}{x-1}$．

Answer 1

分析 （1）根据已知的式子，得出$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，然后根据此规律进行解答即可；
（2）根据规律$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再把要求的式子进行整理即可得出答案；
（3）先把分母进行因式分解，再根据找出的规律得出$\frac{1}{2（x-3）}$-$\frac{1}{2（x-1）}$=$\frac{1}{x-1}$，然后求解即可．

解答 解解：（1）$\frac{1}{x（x+1）}$+$\frac{1}{（x+1）（x+2）}$+$\frac{1}{（x+2）（x+3）}$+…+$\frac{1}{（x+8）（x+9）}$=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x+2}$+…+$\frac{1}{x+8}$-$\frac{1}{x-9}$=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x-9}$=$\frac{9}{x（x+9）}$；

（2）$\frac{1}{（x-2）（x-3）}$-$\frac{2}{（x-1）（x-3）}$+$\frac{1}{（x-1）（x-2）}$=$\frac{1}{x-3}$-$\frac{1}{x-2}$-$\frac{1}{x-3}$+$\frac{1}{x-1}$+$\frac{1}{x-2}$-$\frac{1}{x-1}$=0；

（3）$\frac{1}{{x}^{2}-5x+6}$-$\frac{1}{{x}^{2}-4x+3}$+$\frac{1}{{x}^{2}-3x+2}$
=$\frac{1}{（x-2）（x-3）}$-$\frac{1}{（x-1）（x-3）}$+$\frac{1}{（x-1）（x-2）}$
=$\frac{1}{x-3}$-$\frac{1}{x-2}$-[$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x-3}$-$\frac{1}{x-1}$）]+$\frac{1}{x-2}$-$\frac{1}{x-1}$
=$\frac{1}{2（x-3）}$-$\frac{1}{2（x-1）}$=$\frac{1}{x-1}$，
解得：x=4，
经检验x=4是原方程的解．

点评 此题考查了分式的加减及解分式方程，关键是找出式子的规律．然后用得出的规律得出所求的值．