Question

13．如图，O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求∠ACB的度数；
（3）过O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）由已知条件和圆周角定理易证△AEB≌△DEC；
（2）由（1）可知△AEB≌△DEC，进而得出△EBC为等边三角形，即可得出答案；
（3）由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长．

解答 解：
（1）证明：在△AEB和△DEC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{AE=ED}\\{∠AEB=∠DEC}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△DEC（ASA），
（2）∵△AEB≌△DEC，
∴EB=EC，
又∵BC=CE，
∴BE=CE=BC，
∴△EBC为等边三角形，
∴∠ACB=60°；
（3）作BM⊥AC于点M，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF，
∵△EBC为等边三角形，
∴∠GEF=60°，
∴∠EGF=30°，
∵EG=2，
∴EF=1，
又∵AE=ED=3，
∴CF=AF=4，
∴AC=8，EC=5，
∴BC=5，
∵∠BCM=60°，
∴∠MBC=30°，
∴CM=$\frac{5}{2}$，BM=$\sqrt{B{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴AM=AC-CM=$\frac{11}{2}$，
∴AB=$\sqrt{A{M}^{2}+B{M}^{2}}$=7．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质和勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，得出CM，BM的长是解题关键．