【题目】(发现)如图,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,连接EF.因为AB=AD,所以把ΔABE绕A逆时针旋转90°至ΔADG,可使AB与AD重合.因为∠CDA=∠B=90°,所以∠FDG=180°,所以F、D、G共线.
如果__________(填一个条件),可得ΔAEF≌ΔAGF.经过进一步研究我们可以发现:当BE,EF,FD满足__________时,∠EAF=45°.
(应用)
如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=m,点E在边BC上,且BE=2.
(1)若m=8,点F在边DC上,且∠EAF=45°(如图),求DF的长;
(2)若点F在边DC上,且∠EAF=45°,求m的取值范围.
【答案】发现:(或)(答案不唯一),;应用:(1);(2)
【解析】
[发现]由旋转的性质及全等三角形的判定与性质即可得出结论;
[应用](1)作正方形ABNM,MN与AF相交于点G,连接EG.设MG=x,则NG=6-x,由[发现]可得:BE+MG=EG,即2+x=EG.在Rt△ENG中,由勾股定理可得x的值,即MG的长,由相似三角形的性质得到AM:AD=MG:DF,即可得出结论;
(2)当C和E重合时,如图3,m=AD=BC=2最小;
当C和F重合时,如图4,m=AD最大.类似(1)可得m的值.
[发现]∠EAF=∠GAF(或EF=FG)如图1所示:
∵AB=AD,∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合.
∵∠ADC=∠B=90°,∴∠FDG=180°,点F、D、G共线,∴∠DAG=∠BAE,AE=AG.
若添加条件为:∠EAF=∠GAF.
∵AE=AG,∠EAF=∠GAF,AF=AF,∴ΔAEF≌ΔAGF.
若添加条件为:EF=FG.
∵AE=AG,EF=FG,AF=AF,∴ΔAEF≌ΔAGF.
当BE+FD=EF时,∠EAF=45°.证明如下:
由旋转的性质可知:∠EAG=90°,△ABE≌△ADG,∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG.
∵BE+FD=EF,∴DG+FD=EF,∴FG=EF.
∵AE=AG,AF=AF,∴ΔAEF≌ΔAGF,∴∠EAF=∠FAG=45°.
[应用](1)作正方形ABNM,MN与AF相交于点G,连接EG.设MG=x,则NG=6-x.
∵BE=2,∴EN=6-2=4.由[发现]可得:BE+MG=EG,∴2+x=EG.在Rt△ENG中,∵EN2+NG2=EG2,∴ ,解得:x=3,∴MG=3.
∵MN∥DC,∴△AMG∽△ADF,∴AM:AD=MG:DF,∴6:8=3:DF,解得:DF=4.
(2)当C和E重合时,如图3,m=AD=BC=2最小;
当C和F重合时,如图4,m=AD最大.类似(1)可得:MG=3.
∵MN∥DC,∴△AMG∽△ADC,∴AM:MG=AD:DC,∴6:3=m:6,解得:m=12.
综上所述:2≤m≤12.
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【题目】移动通信公司建设的钢架信号塔(如图1),它的一个侧面的示意图(如图2).CD是等腰三角形ABC底边上的高,分别过点A、点B作两腰的垂线段,垂足分别为B1,A1,再过A1,B1分别作两腰的垂线段所得的垂足为B2,A2,用同样的作法依次得到垂足B3,A3,….若AB为3米,sinα=,则水平钢条A2B2的长度为( )
A. 米B. 2米C. 米D. 米
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【题目】如图,矩形OABC的边OA,OC分别在x轴、y轴上,点B在第一象限,点B的坐标为(12,6),反比例函数的图象分别交边BC、AB于点D、E,连结DE,ΔDEF与ΔDEB关于直线DE对称.当点F正好落在边OA上时,则k的值为________.
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【题目】如图,已知在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为点E,AF⊥CD,垂足为点F.
(1)如果AB=AD,求证:EF∥BD
(2)如果EF∥BD,求证:AB=AD.
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【题目】学生的学习兴趣如何是每位教师非常关注的问题.为此,某校教师对该校部分学生的学习兴趣进行了一次抽样调查(把学生的学习兴趣分为三个层次,A层次:很感兴趣;B层次:较感兴趣;C层次:不感兴趣);并将调查结果绘制成了图①和图②的统计图(不完整).请你根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)此次抽样调查中,共调查了 名学生;
(2)将图①补充完整;
(3)求图②中C层次所在扇形的圆心角的度数;
(4)根据抽样调查的结果,请你估计该校1200名学生中大约有多少名学生对学习感兴趣(包括A层次和B层次).
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【题目】如图,已知点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,作Rt△ABC,边BC在x轴上,点D为斜边AC的中点,连结DB并延长交y轴于点E,若△BCE的面积为4,则k=______.
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【题目】某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示,其中BA=CD,BC=20cm,BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm.为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm,那么横梁EF应为多长?(材质及其厚度等暂忽略不计).
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【题目】观察下列有规律的算式:13=1,13+23=9,13+23+33=36,13+23+33+43=100,13+23+33+43+53=225,…,探究并运用其规律计算:113+123+133+143+153+163+173+183+193+203的结果可表示为( )
A.B.C.D.
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【题目】某公司生产的一种商品其售价是成本的1.5倍,当售价降低5元时商品的利润率为25%.若不进行任何推广年销售量为1万件.为了获得更好的利益,公司准备拿出一定的资金做推广,根据经验,每年投入的推广费x万元时销售量y(万件)是x的二次函数:当x为1万元时,y是1.5(万件).当x为2万元时,y是1.8(万件).
(1)求该商品每件的的成本与售价分别是多少元?
(2)求出年利润与年推广费x的函数关系式;
(3)如果投入的年推广告费为1万到3万元(包括1万和3万元),问推广费在什么范同内,公司获得的年利润随推广费的增大而增大?
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