Question

已知一次函数y₁=2x和二次函数y₂=2x²-2x+2；
（1）证明对任意实数x，都有y₁≤y₂；
（2）求二次函数y₃，其图象过点（-1，2），且对任意实数x，都有y₁≤y₃≤y₂．

Answer 1

解：（1）y₂-y₁，=（2x²-2x+2）-2x，
=2（x-1）²≥0，
所以y₁≤y₂；
（2）由于当且仅当x=1时，y₁=y₂，
所以当且仅当x=1时，y₁=y₃，
设y₃-y₁=m（x-1）²，
而y₁≤y₃≤y₂，
所以0＜m＜2，
当x=-1时，y₃=2，y₁=-2，
所以4=4m，
解得：m=1；
故二次函数y₃的解析式为：y₃=（x-1）²+2x=x²+1．
故答案为：y₃=x²+1．
分析：（1）小题只要求出y₂-y₁的值判断出正负即可；（2）小题先判断当x=1时，y₁和y₃的大小，设y₃-y₁=m（x-1）²，把x=-1代入即可求出y₃．
点评：本题主要考查了二次函数的性质，能根据题意，巧妙地利用性质进行解题是解此题的关键