Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，直线y＝x+经过点A，与抛物线的另一个交点为点C(3，m)，线段PQ在线段AB上移动，PQ＝1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D、G．

(1)求抛物线的解析式；

(2)设四边形DEFG的面积为S，求S的最大值；

(3)在线段PQ的移动过程中，以D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2+x+2；(2)当m＝时，S的最大值为：；(3)点P(1，0)．

【解析】

（1）直线经过点A、C，则点A（-1，0）、（3，2），将点A、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）由 ，即可求解；

（3）线段PQ在线段AB上移动，出现平行四边形时，只能是在AC之上，即：DE=FG，即可求解.

解：(1)直线y＝x+经过点A、C，则点A(﹣1，0)、(3，2)，

将点A、C的坐标代入抛物线表达式得： ，

解得： ，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；

(2)设点P(m，0)，则点Q(m+1，0)，D(m，m+)，点G(m+1，m+1)，点E(m，﹣m2+m+2)、点F(m+1，﹣m2+m+3)，

S＝ (DE+FG)×PQ

∵ ，

故S有最大值，当m＝时，S的最大值为：；

(3)线段PQ在线段AB上移动，出现平行四边形时，只能是在AC之上，

即：DE＝FG，由(2)得： ，

解得：m＝1，

即点P(1，0)．