Question

如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点M，CE交AB的延长线于点E．
（1）如果∠ECD=2∠A，求证：EC是⊙O的切线；
（2）如果CD=8cm，BM=2cm，求⊙O的半径r．

Answer 1

解：（1）证明：连接CO，
∵圆心角∠BOC与圆周角∠A都对，
∴∠BOC=2∠A，又∠ECD=2∠A，
∴∠ECD=∠BOC，
又∵∠BOC+∠OCM=90°，
∴∠ECD+∠OCM=90°，即∠OCE=90°，
∴EC是⊙O的切线；

（2）∵AB⊥CD，CD=8cm，
∴CM=CD=4cm，
设圆的半径为rcm，即OC=OB=rcm，
又∵MB=2cm，
∴OM=OB-MB=（r-2）cm，
在Rt△COM中，根据勾股定理得：CO²=CM²+OM²，
即r²=4²+（r-2）²，
解得：r=5cm．
分析：（1）连接OC，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，得到∠BOC=2∠A，又∠ECD=2∠A，等量代换得到∠BOC=∠ECD，而在直角三角形OCM中，∠BOC+∠OCM=90°，等量代换得到∠ECD+∠OCM=90°，即∠OCE=90°，即可得到EC与圆O相切；
（2）由直径AB垂直于弦CD，利用垂径定理得到M为CD的中点，由CD求出CM的长，设半径为r，再由OB-MB表示出OM，在直角三角形OCM中，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到r的值．
点评：此题考查了切线的判断，圆周角定理，以及勾股定理，利用了方程的思想，切线的判定方法有两种：有点连接，证明垂直；无点作垂线，证明垂线段等于圆的半径．