Question

7．如图1，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0）、B（0，b）、C（-a，0），且$\sqrt{a-2}$+b²-4b+4=0
（1）求证：∠ABC=90°；
（2）作∠ABO的平分线交x轴于一点D，求D点的坐标；
（3）如图2所示，A、B两点在x轴、y轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足∠MON=45°，下列结论：①BM+AN=MN；②BM²+AN²=MN²，其中有且只有一个结论成立．请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质求出a、b的值，根据直角三角形的判定定理证明；
（2）过D作DE⊥AB于E，由于BD是∠ABO的角平分线，根据角平分线的性质知DO=DE，即可证得OD=DE，根据三角形的面积公式计算即可；
（3）作OE⊥OM，且使得OE=OM，由于∠MON=45°，那么∠EON=∠MON=45°，即可证得△MON≌△EON，MN=NE；同理可通过证△MON≌△EON，来得到BM=AN，∠OAE=∠OBM=45°，因此在Rt△NAE中，根据勾股定理即可证得（2）的结论是正确的．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-2}$+b²-4b+4=0，
∴$\sqrt{a-2}$+（b-2）²=0，
则a=2，b=2，
∴OA=OB=OC，
∴∠ABC=90°；
（2）过点D作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABO，
∴OD=DE，
设OD=x，
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×2=$\frac{1}{2}$×2×x+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×x，
解得，x=2$\sqrt{2}$-2，
∴D（2$\sqrt{2}$-2，0）；
（3）结论②是对的，
证明：过点O作OE⊥OM，并使OE=0M，连接AE、NE，
∵∠AOB=90°，∠MOE=90°，
∴∠MOB=∠AOE，
在△MOB和△EOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OA}\\{∠MOB=∠EOA}\\{OM=OE}\end{array}\right.$，
∴△MOB≌△EOA，
∴BM=AE，∠OBM=∠OAE，
∴∠NAE=90°，
∴AE²+AN²=EN²，
在△MON和△EON中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OM}\\{∠MON=∠EON}\\{ON=ON}\end{array}\right.$，
∴△MON≌△EON，
∴MN=NE，
∴BM²+AN²=MN²，即结论②正确．

点评 此题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识的综合应用；能够正确的构造全等三角形是解决此题的关键．