Question

（2013•延庆县一模）在如图所示的棱长为1的正方体中，A、B、C、D、E是正方体的顶点，M是棱CD的中点．动点P从点D出发，沿着D→A→B的路线在正方体的棱上运动，运动到点B停止运动．设点P运动的路程是x，y=PM+PE，则y关于x的函数图象大致为（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：由题意，可知y关于x的函数是分段函数，分别求出0≤x≤1及1＜x≤2时y关于x的函数解析式，再求出端点处及每一段的最小值即可求解．

解答：解：当0≤x≤1时，
∵PM=

DM2+DP2

=

( 1 2 )2+x2

，PE=

PA2+AE2

=

(1-x)2+12

，
∴y=

x2+ 1 4

+

(1-x)2+1

，
当x=0时，y=

1

2

+

2

；当x=1时，y=

5

2

+1；
当侧面展开图中M、P、E三点共线时，y的值最小，最小值为

(1+ 1 2 )2+12

=

13

2

；
当1＜x≤2时，
∵PM=

(x- 3 2 )2+1

，PE=

PA2+AE2

=

(x-1)2+1

，
∴y=

(x- 3 2 )2+1

+

(x-1)2+1

，
当x=2时，y=

5

2

+

2

；
当侧面展开图中M、P、E三点共线时，y的值最小，最小值为

( 1 2 )2+22

=

17

2

；
∵函数图象分为两段，∴A错误；
∵

13

2

＜

17

2

，即第一段的最小值＜第二段的最小值，
且

1

2

+

2

＜

5

2

+1＜

5

2

+

2

，即x为0时的函数值＜x为1时的函数值＜x为2时的函数值，
∴B、D错误；
故选C．

点评：本题考查了动点问题的函数图象，注意分析y随x的变化而变化的趋势，比较四个选项之间的区别．分别计算出两段函数的最小值是解题的关键．