Question

3．已知△ABC中，AB=AC，BC=6，sinB=$\frac{4}{5}$．点P从点B出发沿线段BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？如存在，请求出不变线段的长度．
（3）如图③，△ABC的中线AM与中线BN相交于点G，当PQ过点G时，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）过点P作PF平行与AQ，由平行我们得出一对同位角和一对内错角的相等，再由AB=AC，根据等边对等角得角B和角ACB的相等，根据等量代换的角B和角PFB的相等，根据等角对等边得BP=PF，又因点P和点Q同时出发，且速度相同即BP=CQ，等量代换得PF=CQ，在加上对等角的相等，证得三角形PFD和三角形QCD的全等，根据全等三角形的对应边边相等得出DF=CD=$\frac{1}{2}$CF，而又因P是AB的中点，PF∥AQ得出F是BC的中点，进而根据已知的BC的长，求出CF，即可得出CD的长．
（2）分两种情况讨论，第一种情况点P在线段AB上，根据等腰三角形的三线合一得BE=EF，再又第一问的全等可知DF=CD，所以ED=EF+FD=BE+DC=$\frac{1}{2}$BC=3，得出线段DE的长为定值；第二种情况，P在BA的延长线上，作PM平行于AC交BC的延长线于M，根据两直线平行，同位角相等推出角PMB等于角ACB，而角ACB等于角ABC，根据等量代换得到角ABC等于角PMB，根据等角对等边得到PM等于PB，根据三线合一，得到BE等于EM，同理可得△PMD全等于△QCD，得到CD等于DM，根据DE等于EM减DM，把EM换为BC加CM的一半，化简后得到值为定值；
（3）连MN，过P作PI⊥BC于点I，根据三角形的中位线定理得到MN平行且等于$\frac{1}{2}$AB，由于AB=AC，$sinB=\frac{4}{5}$，BC=6，求得AM=4，于是得到$GM=\frac{1}{2}AG=\frac{1}{3}AM=\frac{4}{3}$设BI=3k，则PI=4k，BP=5k，根据相似三角形的性质得到$\frac{DM}{ID}=\frac{MG}{PI}$，求出MD=$\frac{1}{k}$，根据BM=BI+IM=ID=IM+MD=3，证得BI=MD，于是得到结论．

解答 解：（1）如图①，过P点作PF∥AC交BC于F，
∵点P和点Q同时出发，且速度相同，
∴BP=CQ，
∵PF∥AQ，
∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠PFB，
∴BP=PF，
∴PF=CQ，
在△PFD与△QCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DPF=∠Q}\\{PF=QC}\\{∠PFD=∠QCD}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△QCD，
∴DF=CD=$\frac{1}{2}$CF，
又因P是AB的中点，PF∥AQ，
∴F是BC的中点，即FC=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴CD=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{3}{2}$；

（2）得ED为定值，是不变的线段
如图②，如果点P在线段AB上，
过点P作PF∥AC交BC于F，
∵△PBF为等腰三角形，
∴PB=PF，
BE=EF，
∴PF=CQ，
∴FD=DC，
∴ED=ED=EF+FD=BE+DC=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴ED为定值，
综上所述，线段ED的长度保持不变；

（3）如图4，连MN，过P作PI⊥BC于点I，
∵AM、BN是△ABC的中线，
∴MN平行且等于$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=AC，$sinB=\frac{4}{5}$，BC=6，
∴AM=4，
∴$GM=\frac{1}{2}AG=\frac{1}{3}AM=\frac{4}{3}$
设BI=3k，则PI=4k，BP=5k，
∵△DMG∽△DIP，
∴$\frac{DM}{ID}=\frac{MG}{PI}$，
由（2）知ID=3，即：$\frac{MD}{3}=\frac{{\frac{4}{3}}}{4k}$，
∴MD=$\frac{1}{k}$，
又∵BM=BI+IM=ID=IM+MD=3，
∴BI=MD，即：$3k=\frac{1}{k}$
∴$k=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$k=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$（舍去），
∴$PB=\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$．

点评 此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，考查了分类讨论的数学思想，正确的作出辅助线是解题的关键．