Question

15、甲乙丙三人分糖块，分法如下：先在三张纸片上各写三个正整数p、q、r，使p＜q＜r，分糖时，每人抽一张纸片，然后把纸片上的数减去p，就是他这一轮分得的糖块数，经过若干轮这种分法后，甲总共得到20块糖，乙得到10块糖，丙得到9块糖，又知最后一次乙得到的纸片上写的数是r，而丙在各轮中得到的纸片上写的数字的和是18．问p、q、r是哪三个正除数，为什么？

Answer 1

分析：首先求得甲乙丙三人一轮共得到糖块，那么第n轮后共得到糖块数也即可得到．该数还是甲总共得到20块糖，乙得到10块糖，丙得到9块糖的和．即列式n（q+r-2p）=20+10+9=39=1×39=3×13．再分别讨论n=1，n=39，n=3，n=13时，，是否满足已知条件，进而确定p、q、r的值．

解答：解：每一轮三人得到的糖数之和为
p+q+r-3p=q+r-2p．
设它们共分了n轮，依题意，得
n（q+r-2p）=20+10+9=39=1×39=3×13．①
若n=1，则抽到纸片上为p的人得糖数为0，与已知矛盾，
∴n≠1；
若n=39，则q+r-2p=1，这不可能，
∵p＞q＞r，且都为整数，
∴每轮至少分出2块糖，不可能只分1块糖，
∴n≠39．
∴n=3或n=13．
∵丙在各轮中得到的纸片上写数字的和是18，
∴丙分得的糖数为18-np．
∴18-np=9，np=9．
∵p≥1，∴n≠13．只有n=3，p=3．
将n=3，p=3代入（1），得
3（r+q-6）=39，∴r+q=19．
∵乙得到的糖块数为10，而最后一轮得到的糖块是r-3，
∴r-3≤10，r≤13．
若r≤12，则乙最后一轮得到的糖块必≤9，这样乙必定在前一轮中抽得的纸片上为q或r，他得的糖块数q+r-2p必不小于13，这与乙总共得到10块糖相矛盾．
∴r＞12，12＜r≤13，
∴r=13，q=6．
综上所述，p=3，q=6，r=13．
甲乙丙三人三轮中抽得纸片上的数字如下：，

点评：本题考查抽屉原理的应用，难度较大，关键是在全面考虑的基础上，排除不能满足条件的数据．这种方法经常在数学证明时使用，同学们要注意掌握．