Question

已知抛物线y=x²与动直线y=（2t-1）x-c有公共点（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁²+x₂²=t²+2t-3．
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用抛物线的图象性质可以知道抛物线y=x²的图象开口向上最低点为原点，它与直线有交点则可以联立求解方程有两个实数根，便可一切定出t的取值范围．
（2）有（1）中可知c可以用含有t的代数式来表示，利用二次函数求最值的相关知识求解．
解答：解：（1）联立y=x²与y=（2t-1）x-c，
消去y得二次方程x²-（2t-1）x+c=0①
有实数根x₁，x₂，则x₁+x₂=2t-1，x₁x₂=c．
所以
==②
把②式代入方程①得③
t的取值应满足t²+2t-3=x₁²+x₂²≥0，④
且使方程③有实数根，即△=（2t-1）²-2（3t²-6t+4）=-2t²+8t-7≥0，⑤
解不等式④得t≤-3或t≥1，
解不等式⑤得≤t≤．
所以，t的取值范围为≤t≤．⑥

（2）由②式知．
由于
在≤t≤时是递增的，
所以，当
时，．
答：当时，c有最小值：．
点评：本题主要考查了二次函数的图象性质，以及二次函数求最值的相关知识．