Question

16．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=10，点P在边BC上，点Q在边CD上，
（1）如图1，将△ADQ沿AQ折叠，点D恰好与点P重合，求CQ的长；
（2）如图2，若CQ=2，且△ABP与△PCQ相似，求BP的长；
（3）若点Q是CD边上的一点，且BC上不存在满足AP⊥PQ的点P，请探究：此时CQ的长必须满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求出BP的长，得到PC的长，设CQ=x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值即可；
（2）分△BAP∽△CQP和△BAP∽△CPQ两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可；
（3）根据直径所对的圆周角是直角和直线与圆的位置关系解得即可．

解答 解：（1）由题意得，PQ=DQ，AP=AD=10，又AB=6，
∴BP=$\sqrt{A{P}^{2}-A{B}^{2}}$=8，
∴PC=10-8=2，
设CQ=x，则PQ=DQ=6-x，
∴（6-x）²=x²+4，
解得x=$\frac{8}{3}$，即CQ=$\frac{8}{3}$；
（2）当△BAP∽△CQP时，$\frac{AB}{CQ}$=$\frac{BP}{PC}$，
解得BP=7.5；
当△BAP∽△CPQ时，$\frac{AB}{PC}$=$\frac{BP}{CQ}$，
解得BP=5±$\sqrt{13}$；
（3）如图，M是AQ的中点，MN⊥BC，
设CQ=x，则MN=$\frac{1}{2}$（x+6），DQ=6-x，
AQ=$\sqrt{100+（6-x）^{2}}$，
当MN＞$\frac{1}{2}$AQ时，以AQ为直径的圆与BC相离，即BC上不存在满足AP⊥PQ的点P，
$\frac{1}{2}$（x+6）＞$\frac{1}{2}$$\sqrt{100+（6-x）^{2}}$，
解得x＞$\frac{25}{6}$．
∴当$\frac{25}{6}$＜CQ≤6时，BC上不存在满足AP⊥PQ的点P．

点评 本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．