Question

如图，正方形ABCD的顶点B与⊙O的圆心O的重合，点A在⊙O上，CD=6cm．将正方形ABCD向右平移运动，当点B到达⊙O上时运动停止．设正方形ABCD与⊙O重叠部分（阴影部分）的面积为S．
（1）请写出⊙O半径的长度；
（2）试写出正方形ABCD平移运动过程中，S的大小变化规律；
（3）在平移过程中，AD、BC与⊙O的交点分别为E、F．当EF=6cm时，求S的值．

Answer 1

考点：圆的综合题,等边三角形的判定与性质,勾股定理,矩形的判定与性质,正方形的性质,扇形面积的计算,锐角三角函数的定义

专题：综合题

分析：（1）易证⊙O半径的长度等于CD长．
（2）通过操作、画图很容易知道S的大小变化规律．
（3）由EF=6cm易得△OEF是等边三角形，从而得到∠EOF=60°，从而可以求出扇形OEF的面积．由EF=6cm可以证到四边形ABFE是矩形，从而可以求出△OAE和△OBF的面积，进而可以求出S的值．

解答：解：（1）如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC．
∵DC=6，
∴AB=6．
∴OA=BA=6．
∴⊙O半径的长度为6cm．
（2）观察图1、图2、图3可知：
从图1到图2，S逐渐增大；从图2到图3，S逐渐减小．
∴正方形ABCD从左向右平移的运动过程中，S的大小变化规律是先变大后变小．
（3）过点E作EH⊥BC，垂足为H，连接OE，OF，如图2所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=90°．
∵EH⊥BC，
∴∠EHB=90°．
∴∠DAB=∠ABC=∠EHB=90°．
∴四边形ABHE为矩形．
∴EH=AB=6．
∵EF=6，
∴点F与点H重合．
∴四边形ABFE为矩形．
∴AB∥EF．
∴∠AOE=∠OEF．
∵OE=6，OF=6，EF=6
∴△OEF是等边三角形．
∴∠EOF=∠OEF=60°．
∴∠AOE=60°．
∵sin∠AOE=

AE

OE

AE

6

=

3

2

，
∴AE=3

3

．
∴OA=

OE2-AE2

=

62-(3 3 )2

=3．
∴S_△OAE=

1

2

OA•AE=

9 3

2

．
同理：S_△OBF=

9 3

2

．
∴S=S_△OAE+S_△OBF+S_扇形OEF
=

9 3

2

+

9 3

2

+

60π×62

360

=9

3

+6π．
∴当EF=6cm时，S的值为（9

3

+6π）cm．

点评：本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、勾股定理、扇形的面积公式等知识，而第三小题中证明四边形ABFE是矩形是解决该题的难点．