Question

阅读下列解题过程：

1

5 + 4

=

1×( 5 - 4 )

( 5 + 4 )( 5 - 4)

=

5 - 4

( 5 )2-( 4)2

=

5

-

4

=

5

-2

1

6 + 5

=

1×( 6 - 5 )

( 6 + 5 )( 6 - 5)

=

6 - 5

( 6 )2-( 5)2

=

6

-

5

请回答下列问题．
（1）观察上面的解题过程，请直接写出结果．

1

n + n-1

=

 

．
（2）利用上面结论，请化简

1

2 +1

+

1

3 + 2

+

1

4 + 3

+…+

1

2005 + 2004

的值．

Answer 1

分析：（1）对于分子为1，分母为相邻两整数的开方之和的式子，分子分母都乘以分母的有理化因式，分母利用平方差公式进行计算，得到的结果为所乘的有理化因式，即可写出结果；
（2）利用上述规律化简所求的式子中的每一项，抵消可得值．

解答：解：（1）根据上述等式的规律得：

1

n + n-1

=

n

-

n-1

；
故答案为：

n

-

n-1

；
（2）

1

2 +1

+

1

3 + 2

+

1

4 + 3

+…+

1

2005 + 2004

=

2

-1+

3

-

2

+

4

-

3

+…+

2004

-

2003

+

2005

-

2004

=

2005

-1．

点评：此题考查了二次根式的分母有理化，分母有理化的方法是分子分母同时乘以有理化因式，其中有理化因式为刚好和分母能利用平方差公式进行计算的式子．同时让学生经历从特殊到一般的过程，有利于学生主动地进行观察、猜测、归纳总结，体现了数学的技能性．