Question

19．已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点M（m，4-m）．
（1）若y=$\frac{k}{x}$的图象与直线y=3x有交点，求m的取值范围；
（2）若点M到x轴的距离是到y轴距离的3倍，求k的值．
（3）在（2）的条件下，若k＜0．
①当-3＜x≤-$\frac{1}{2}$时，求y的取值范围．
②直接写出一次函数y=-x+4的值不小于反比例函数y=$\frac{k}{x}$的值的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把M（m，4-m）代入y=$\frac{k}{x}$求出k的值，然后把y=3x代入y=$\frac{m（4-m）}{x}$得出方程3x²+m²-4m=0，根据根的判别式求出即可；
（2）根据题意得出3m=4-m或3m=m-4，解方程求得M的坐标，代入解析式即可求得k的值；
（3）①分别代入x=-3和x=-$\frac{1}{2}$，求得等于的函数值，根据函数值和反比例函数的性质求得即可；
②求得交点坐标，根据交点坐标和图象即可求得．

解答 解：（1）把M（m，4-m）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=m（4-m），
即这个函数的解析式为y=$\frac{m（4-m）}{x}$；
把y=3x代入y=$\frac{m（4-m）}{x}$得：3x²+m²-4m=0，
△=0²-4×3•（m²-4m）=-12m²+48m，
∵y=$\frac{k}{x}$的图象与直线y=3x有交点，
∴-12m²+48m≥0，
即m²-4m≤0，
m（m-4）≤0，
∴0≤m≤4，
即m的取值范围是：0≤m≤4．
（2）∵点M到x轴的距离是到y轴距离的3倍，
∴3m=4-m或3m=m-4，
解得m=1或-2，
∴M（1，3）或（-2，6），
∴k的值为3或-12；
（3）①∵y=-$\frac{12}{x}$，
当x=-3时，y=-$\frac{12}{-3}$=4，
当x=-$\frac{1}{2}$时，y=-$\frac{12}{-\frac{1}{2}}$=24，
∴当-3＜x≤-$\frac{1}{2}$时，求y的取值范围是4＜y≤24；
②解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=-\frac{12}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=6}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=6}\end{array}\right.$，如图，
∴当x≤-2或0＜x≤6时，一次函数y=-x+4的值不小于反比例函数y=$\frac{k}{x}$的值．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，根的判别式以及函数和不等式的关系等知识点的应用，主要考查学生计算能力和理解能力．