Question

3．已知函数f（x）=x²+|x-a|+1（x∈R），a是实数，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 将函数化成f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}-a（x≥a）}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}+a（x＜a）}\end{array}\right.$，分类讨论即可．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}-a（x≥a）}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}+a（x＜a）}\end{array}\right.$，
①当a≥$\frac{1}{2}$时，f（x）_min=$\frac{3}{4}$+a；
②-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$时，f（x）_min=a²+1；
③当a≤-$\frac{1}{2}$时，f（x）_min=$\frac{3}{4}$-a；
综上，f（x）的最小值=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}+a（a≥\frac{1}{2}）}\\{{a}^{2}+1（-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}）}\\{\frac{3}{4}-a（a≤-\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了二次函数的最小值，分类讨论思想的运用是解题的关键．