Question

11．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A、B两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，
①若∠B=40°，求∠CAD的度数；
②若AC=6，BC=8，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）作线段AB的垂直平分线，此直线与线段BC的交点即为D点；
（2）①先根据AD=BD求出∠DAB的度数，再由直角三角形的性质得出∠BAC的度数，进而可得出结论；
②设CD=x，则BD=AD=8-x，在Rt△ACD中利用勾股定理即可得出结论．

解答 解：（1）如图，点D为所作；

（2）①∵DA=DB，
∴∠DAB=∠B=40°，
∴∠ADC=40°+40°=80°，
∴∠ACD=90°-80°=10°；
②设CD=x，则BD=AD=8-x，
在Rt△ACD中，∵AC²+CD²=AD²，
∴6²+x²=（8-x）²，x=$\frac{7}{4}$，即CD的长为$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法及性质是解答此题的关键．