解:(1)设抛物线顶点为E,根据题意OA=4,OC=3,得:E(2,3),
设抛物线解析式为y=a(x-2)
2+3,
将A(4,0)坐标代入得:0=4a+3,即a=-
,
则抛物线解析式为y=-
(x-2)
2+3=-
x
2+3x;
(2)设直线AC解析式为y=kx+b(k≠0),
将A(4,0)与C(0,3)代入得:
,
解得:
,
故直线AC解析式为y=-
x+3,
与抛物线解析式联立得:
,
解得:
或
,
则点D坐标为(1,
);
(3)存在,分两种情况考虑:
①当点M在x轴上方时,如答图1所示:
四边形ADMN为平行四边形,DM∥AN,DM=AN,
由对称性得到M(3,
),即DM=2,故AN=2,
∴N
1(2,0),N
2(6,0);
②当点M在x轴下方时,如答图2所示:
过点D作DQ⊥x轴于点Q,过点M作MP⊥x轴于点P,可得△ADQ≌△NMP,
∴MP=DQ=
,NP=AQ=3,
将y
M=-
代入抛物线解析式得:-
=-
x
2+3x,
解得:x
M=2-
或x
M=2+
,
∴x
N=x
M-3=-
-1或
-1,
∴N
3(-
-1,0),N
4(
-1,0).
综上所述,满足条件的点N有四个:N
1(2,0),N
2(6,0),N
3(-
-1,0),N
4(
-1,0).
分析:(1)由OA的长度确定出A的坐标,再利用对称性得到顶点坐标,设出抛物线的顶点形式y=a(x-2)
2+3,将A的坐标代入求出a的值,即可确定出抛物线解析式;
(2)设直线AC解析式为y=kx+b,将A与C坐标代入求出k与b的值,确定出直线AC解析式,与抛物线解析式联立即可求出D的坐标;
(3)存在,分两种情况考虑:如图所示,当四边形ADMN为平行四边形时,DM∥AN,DM=AN,由对称性得到M(3,
),即DM=2,故AN=2,根据OA+AN求出ON的长,即可确定出N的坐标;当四边形ADM′N′为平行四边形,可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P,M′P=DQ=
,N′P=AQ=3,将y=-
代入得:-
=-
x
2+3x,求出x的值,确定出OP的长,由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标.
点评:此题考查了二次函数综合题,涉及的知识有:待定系数法确定抛物线解析式,一次函数与二次函数的交点,平行四边形的性质,以及坐标与图形性质,是一道多知识点的探究型试题.