Question

定义[a，b，c]为函数y=ax²+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论：
①当m=-1时，函数图象的顶点坐标是（

1

2

，4）； 
②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于

3

2

；
③当m＜0时，函数在x＜

1

4

时，y随x的增大而增大；
④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．  
其中正确的结论有

②③④

．（只需填写序号）

Answer 1

分析：①把m=-1代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
②令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
④根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可；

解答：解：因为函数y=ax²+bx+c的特征数为[2m，1-m，-1-m]；
①、当m=-1时，y=-2x²+2x=-2（x-

1

2

）²+

1

2

，顶点坐标是（

1

2

，

1

2

）；此结论错误；
②、当m＞0时，令y=0，有2mx²+（1-m）x+（-1-m）=0，解得：x₁=1，x₂=-

1

2

-

1

2m

，
|x₂-x₁|=

3

2

+

1

2m

＞

3

2

，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于

3

2

，此结论正确；
③当m＜0时，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：

m-1

4m

，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，

m-1

4m

=

1

4

-

1

4m

＞

1

4

，即对称轴在x=

1

4

右边，因此函数在x=

1

4

右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论正确；
④当x=1时，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m）=2m+（1-m）+（-1-m）=0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．
根据上面的分析，②③④都是正确的，①是错误的．
故答案为：②③④．

点评：此题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．