Question

7．如图①，P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R．
（1）请观察AR与AQ，它们有何数量关系？证明你的猜想．
（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图②中完成图形，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）利用△ABC是等腰三角形，可知AB=AC，∠B=∠C，利用同角的余角相等即可求证∠AQR=∠R，从而可知AR=AQ；
（2）证明方法与（1）类似

解答 （1）AR=AQ，证明如下：
∵△ABC是等腰三角形
∴AB=AC，∠B=∠C
又∵PR⊥BC
∴∠RPC=90°
∴∠C+∠R=90°，∠B+∠BQP=90°
∵∠BQP=∠AQR
∴∠AQR=∠R
∴AR=AQ

（2）AR=AQ仍然成立：
∵△ABC是等腰三角形
∴AB=AC，∠ABC=∠C
又∵PR⊥BC
∴∠RPC=90°
∴∠C+∠R=90°，∠PBQ+∠BQP=90°
∵∠ABC=∠PBQ
∴∠AQR=∠R
∴AR=AQ

点评 本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是利用AB=AC，∠B=∠C以及同角的余角相等求证∠AQR=∠R，本题属于中等题型．