Question

如图，已知在正方形ABCD中，E是AB的中点，延长BC到点F使CF=AE．求证：
（1）DE=DF；
（2）若H点为BC的中点，求证：AH⊥ED．

Answer 1

证明：（1）在△AED和△DFC中，
，
∴△ADE≌△CDF，（SAS）
∴DE=DF；

（2）在Rt△ADE和Rt△BAH中，
，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴∠EAG=∠ADG，
∵∠ADG+∠AEG=90°，
∴∠EAG+∠AEG=90°，
∴∠AGE=180°-∠EAG-∠AEG=90°，
即AH⊥DE．
分析：（1）DE，DF分别为△AED和△DFC的斜边，要证DE=DF，证明△ADE≌△CDF即可；
（2）要求证AH⊥ED，求∠EAG+∠AEG=90°即可，求证△ABH≌△DAE即可．
点评：本题考查了正方形各边相等，各内角均为直角的性质，考查了全等三角形的判定和对应边、对应角相等的性质，本题中证明△ADE≌△CDF和∠EAG+∠AEG=90°是解题的关键．