Question

如图，AB是⊙O的直径，切线BC是⊙O相交于点D，BC=3，CD=2．
（1）求⊙O的半径；
（2）连接AD并延长，交BC于点E，取BE的中点F，连接DF，试判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC；
设⊙O的半径为r，在Rt△OBC中，OC²=OB²+BC²，
∴（r+2）²=r²+3²，
∴r=，
∴⊙O的半径为；

（2）连接OF；
∵BO=OA，BF=FE，
∴OF∥AE，
∴∠1=∠A，∠2=∠ADO；
又∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠1=∠2；
∵OB=OD，∠1=∠2，OF=OF，
∴△OBF≌△ODF，
∴∠ODF=∠OBF=90°，即OD⊥DF；
∵OD是半径，
∴DF是⊙O的切线，
即DF与⊙O相切；
分析：（1）在Rt△BCO中，利用勾股定理列出关于半径的等式即可求解；
（2）连接OF利用三角形全等得到∠ODF=∠OBC=90°，又因为OD是半径，所以相切．
点评：本题考查勾股定理、切线的性质和切线的判定，熟练掌握定理对解好几何题目很重要．