Question

（1）设α、β是方程x²+2x-9=0的两个实数根，求α²β+αβ²的值．
（2）先化简，再求值：(1+

2b2

a2-b2

)÷(1+

2b

a-b

)，其中a=1+

3

，b=1-

3

．

Answer 1

分析：（1）用两种方法解答：求出方程的根，直接代入α²β+αβ²求值或利用根与系数的关系解答；
（2）将(1+

2b2

a2-b2

)÷(1+

2b

a-b

)转化为两根之和与两根之积的表达式，再根据根与系数的关系解答．

解答：解：（1）解法1：解方程x²+2x-9=0得：
x₁=-1+

10

，x2=-1-

10

．
∴α+β=(-1+

10

)+(-1-

10

)=-2，αβ=(-1+

10

)(-1-

10

)=-9，
∴α²β+αβ²=αβ（α+β）=（-9）×（-2）=18．
解法2：由根与系数的关系得：α+β=-2，αβ=-9，
∴α²β+αβ²=αβ（α+β）=（-9）×（-2）=18．
（其它解法合理，参照给分）．
（2）解：原式=

a2-b2+2b2

a2-b2

÷

a-b+2b

a-b

=

a2+b2

(a+b)(a-b)

•

a-b

a+b

=

a2+b2

(a+b)2

=

(a+b)2-2ab

(a+b)2

，
∵a+b=1+

3

+1-

3

=2，ab=(1+

3

)(1-

3

)=-2，原式=

4+4

4

=2．

点评：本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、分式的化简求值等内容，利用整体思想可顺利解答．