Question

（1）如图，正△ABC中，点M与点N分别是BC、CA上的点，且BM=CN，连接AM、BN，两线交于点Q，求∠AQN的度数．

（2）将1题中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD，正五边形ABCDE，正六边形ABCDEF，…，正n边形ABCD…N，其余条件不变，根据第1题的求解思路分别推断∠AQN的度数，将结论填入下表：

正多边形	正方形	正五边形	正六边形	…	正n边形
∠AQN的度数

Answer 1

分析：（1）∠AQN即∠ABN与∠BAM之和，求解△ABM≌△BCN，∠BAM=∠CBN，进而可求解；
（2）由（1）可得，∠AQN的大小即多边形一个角的大小，所以此结论可推广到n边形．

解答：解：（1）在△ABM与△BCN中，

AB=BC ∠ABC=∠C=60° BM=CN

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠NBC，
∴∠AQN=∠BAM+∠ABQ，
=∠NBC+∠ABQ，
=∠ABM=60°
∴∠AQN=60°；

（2）由（1）可知，∠AQN=各个多边形的一个角的大小，
所以正方形中∠AQN=90°，
正五边形中∠AQN=108°，
正六边形中∠AQN=120°，
…
正n边形中∠AQN=

(n-2)•180°

n

．

点评：熟练掌握等边三角形的性质及正方形，多边形的性质．