Question

如图所示：在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，∠ADC=120°．
（1）试探讨线段AC与BC的位置关系；
（2）若AD=4，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据等腰梯形性质求出∠DAB=∠CBA=60°，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠CAB、和∠ACB即可；
（2）过C作CE∥AD交AB于E，作CF⊥AB于F，证菱形ADCE，推出CE=CB，得到等边三角形CEB，根据勾股定理求出高CF即可．

解答：解：（1）线段AC与BC的位置关系是：AC⊥BC，
理由是：∵等腰梯形ABCD，∠ADC=120°，
∴∠DAB=∠CBA=60°，
又由AD=DC，∠ADC=120°，
∴∠DAC=30°，
∴∠CAB=30°，
∴∠ACB=90°，
即AC⊥BC．

（2）过C作CE∥AD交AB于E，
∵DC∥AB，CE∥AD，AD=DC，
∴四边形ADCE是菱形，
∴AD=CE=4，
又∠CBA=60°，△CBE为等边三角形，
作CF⊥AB于F，
∴CF=

42-22

=2

3

，
则梯形ABCD的面积为

(4+8)×2 3

2

=12

3

cm^2，
答：梯形ABCD的面积是12

3

cm²．

点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，菱形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．