Question

（2012•宿迁）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，设AD=a，BC=b．
（1）求CD的长度（用a，b表示）；
（2）求EG的长度（用a，b表示）；
（3）试判断EG与FG是否相等，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由AB为半圆的直径，∠DAB=∠ABC=90°，根据切线的判定方法得到DA、BC为半圆O的切线，而CD与以AB为直径的半圆相切于点E，根据切线长定理得到DE=DA=a，CE=CB=b，即有CD=a+b；
（2）易得EG∥BC，根据平行线分线段成比例定理有EG：BC=DE：DC，即EG：b=a：（a+b），即可表示出EG=

ab

a+b

；
（3）由EG∥BC，根据平行线分线段成比例定理

DG

DB

=

EG

BC

，即

EG

b

=

DG

DB

，由GF∥AD得到

FG

AD

=

BG

BD

，即

FG

a

=

BG

BD

，则

EG

b

+

FG

a

=

DG

BD

+

BG

BD

=1，然后把EG=

ab

a+b

代入计算即可得到FG=

ab

a+b

，即可得到EG=FG．

解答：解：（1）∵AB为半圆的直径，∠DAB=∠ABC=90°，
∴DA、BC为半圆O的切线，
又∵CD与以AB为直径的半圆相切于点E，
∴DE=DA=a，CE=CB=b，
∴CD=a+b；
（2）∵EF⊥AB，
∴EG∥BC，
∴EG：BC=DE：DC，即EG：b=a：（a+b），
∴EG=

ab

a+b

；
（3）EG与FG相等．理由如下：
∵EG∥BC，
∴

DG

DB

=

EG

BC

，即

EG

b

=

DG

DB

①，
又∵GF∥AD，
∴

FG

AD

=

BG

BD

，即

FG

a

=

BG

BD

②，
①+②得

EG

b

+

FG

a

=

DG

BD

+

BG

BD

=1，
而EG=

ab

a+b

，
∴

a

a+b

+

FG

a

=1，
∴FG=

ab

a+b

，
∴EG=FG．

点评：本题考查了圆的综合题：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；掌握圆的切线长定理；运用平行线分线段成比例定理进行线段之间的转化．