Question

【题目】已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝m，点E是边BC上一点，BE＝1，连接AE．

（1）沿AE翻折△ABE使点B落在点F处，

①连接CF，若CF∥AE，求m的值；

②连接DF，若≤DF≤，求m的取值范围．

（2）△ABE绕点A顺时针旋转得△AB1E1，点E1落在边AD上时旋转停止．若点B1落在矩形对角线AC上，且点B1到AD的距离小于时，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①2；②1≤m；（2）＜m≤4.

【解析】

（1）①画出图形，由CF∥AE可得内错角和同位角相等，由翻折有对应角相等，等量代换后出现等腰三角形，即求出m的值．
②由于△ABE的形状大小是固定的，其翻折图形也固定，故可求点F到AD的距离FG与AG的长度，根据△DFG是直角三角形即可利用勾股定理用含m的式子表示DF2的长度，此时可把DF2看作是m的二次函数，根据二次函数图象的性质和DF2的范围，确定自变量m的范围．
（2）根据点B1在AC上，利用内错角相等即三角函数相等可用含m的式子表示B1到AC的距离B1M，即求出m的最小值．又画图可知，当点E1落在AD上时，m最大，画出图形，利用∠ACB=∠B1AE1即三角函数相等即求出m的值．

解：（1）①如图1，∵CF∥AE

∴∠FCE＝∠AEB，∠CFE＝∠AEF

∵△ABE翻折得到△AFE

∴EF＝BE＝1，∠AEF＝∠AEB

∴∠FCE＝∠CFE

∴CE＝EF＝1

∴m＝BC＝BE+CE＝2

∴m的值是2．

②如图2，过点F作GH⊥AD于点G，交BC于点H

∴GH⊥BC

∴∠AGF＝∠FHE＝90°

∵四边形ABCD是矩形

∴∠BAD＝∠B＝90°

∴四边形ABHG是矩形

∴GH＝AB＝2，AG＝BH

∵△ABE翻折得到△AFE

∴EF＝BE＝1，AF＝AB＝2，∠AFE＝∠B＝90°

∴∠AFG+∠EFH＝∠AFG+∠FAG＝90°

∴∠EFH＝∠FAG

∴△EFH∽△FAG

∴

设EH＝x，则AG＝BH＝x+1

∴FG＝2EH＝2x

∴FH＝GH﹣FG＝2﹣2x

∴

解得：x＝

∴AG＝，FG＝

∵AD＝BC＝m

∴DG＝|AD﹣AG|＝|m﹣|

∴DF2＝DG2+FG2＝（m﹣）2+2≥，

即可把DF2看作关于m的二次函数，抛物线开口向上，最小值为.

∵

∴

∵（m﹣）2+2＝ 解得：m1＝，m2＝1

∴根据二次函数图象可知，1≤m

（2）如图3，过点B1作MN⊥AD于点M，交BC于点N

∴MN∥AB，MN＝AB＝2

∵AC＝

∴sin∠ACB＝

∵AD∥BC，点B1在AC上

∴∠MAB1＝∠ACB

∴sin∠MAB1＝

∴

∵点B1到AD的距离小于

∴MB1＝

解得：

∵m＞0

∴m＞

如图4，当E1落在边AD上，且B1在AC上时，m最大，

此时，∠ACB＝∠B1AE1＝∠BAE

∴tan∠ACB＝tan∠BAE

∴

∴m＝BC＝2AB＝4

∴m的取值范围是＜m≤4