Question

4．如图，在反比例函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上，有点P₁，P₂，P₃，P₄…P_n（n为正整数，且n≥1）．它们的横坐标依次为1，2，3，4…n（n为正整数，且n≥1），分别过这些点作x轴与y轴的垂线，连接相邻两点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S₁，S₂，S₃…S_n-1（n为正整数，且n≥2），那么S₂+S₃+S₄+…S₇=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 求出P₁、P₂、P₃、P₄…的纵坐标，从而可计算出S₁、S₂、S₃、S₄…的高，进而求出S₁、S₂、S₃、S₄…，从而得出S₂+S₃+…+S₇的值．

解答 解：当x=1时，P₁的纵坐标为4，
当x=2时，P₂的纵坐标为2，
当x=3时，P₃的纵坐标为$\frac{4}{3}$，
当x=4时，P₄的纵坐标为1，
当x=5时，P₅的纵坐标为$\frac{4}{5}$，
…
则S₁=$\frac{1}{2}$×1×（4-2）=1=2-1；
S₂=$\frac{1}{2}$×1×（2-$\frac{4}{3}$）=$\frac{1}{3}$=1-$\frac{2}{3}$；
S₃=$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{4}{3}$-1）=$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{4}$；
S₄=$\frac{1}{2}$×1×（1-$\frac{4}{5}$）=$\frac{1}{10}$=$\frac{2}{4}$-$\frac{2}{5}$；
…
S_n=$\frac{2}{n}$-$\frac{2}{n+1}$；
∴S₂+S₃+S₄+…+S₇
=1-$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{4}$+…+$\frac{2}{7}$-$\frac{2}{8}$
=1-$\frac{1}{4}$
=$\frac{3}{4}$，
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求出个阴影的面积表达式是解题的关键．