Question

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的两个图形M和N，给出如下定义：若在图形M上存在一点A，图形N上存在两点B，C，使得△ABC是以BC为斜边且BC＝2的等腰直角三角形，则称图形M与图形N具有关系φ（M，N）．

（1）若图形X为一个点，图形Y为直线y＝x，图形X与图形Y具有关系φ（X，Y），则点，P2（1，1），P3（2，﹣2）中可以是图形X的是　　；

（2）已知点P（2，0），点Q（0，2），记线段PQ为图形X．

①当图形Y为直线y＝x时，判断图形X与图形Y是否既具有关系φ（X，Y）又具有关系φ（Y，X），如果是，请分别求出图形X与图形Y中所有点A的坐标；如果不是，请说明理由；

②当图形Y为以T（t，0）为圆心，为半径的⊙T时，若图形X与图形Y具有关系φ（X，Y），求t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①是；②或．

【解析】

（1）逐个点进行验证判断是否符合新定义的要求，要紧扣“使得△ABC是以BC为斜边且BC＝2的等腰直角三角形”；

（2）①按照新定义和条件正确画出图形，结合图形进行求解；②分别找出t的最大值和最小值．

解：（1）P1；如图1，过P1作P1I⊥y轴交直线y＝x于点C1，作P1B1⊥x轴于B1（B1与O重合），

∵P1（0，），

∴P1O＝，

将y＝代入y＝x中，得x＝

∴C1（，），即：C1P1＝B1P1＝

∴＝ ＝2

∴P1（0，）与图形Y（直线y＝x）具有关系φ（X，Y）；

∵P2（1，1）在直线y＝x上，

∴P2（1，1）与图形Y（直线y＝x）不具有关系φ（X，Y）；

∵P3（2，﹣2）

∴B3（﹣2，﹣2），C3（2，2），

∴B3C3＝＝4

∴P3（2，﹣2）与图形Y（直线y＝x）不具有关系φ（X，Y）；

故答案为P1（0，）

（2）①是，

如图2，在直线y＝x上取点B，C，且BC＝2，则满足△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形的点A，在到直线y＝x距离为1的两条平行直线上．这两条平行直线与PQ分别交于A1，A2两点．故图形X与图形Y满足φ（X，Y）．

直线y＝x与线段PQ交于点M（1，1），过点M作MH⊥y轴于H，与A1B交于点N，则MA1＝1，，可得A1（，）．同理可求得A2（，）．

如图3，在线段PQ上取点B，C，且BC＝2，则满足△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形的点A在图中的两条线段上，这两条线段与直线y＝x交于A3，A4两点．故图形X与图形Y满足φ（Y，X）．

同上可求得A3（，），A4（，）．

②如图3，当△QB1C1为等腰直角三角形，且斜边B1C1＝2时，连接QT1交B1C1于S，

则QS＝B1S＝C1S＝1，B1T1＝，

∴T1S＝2，T1Q＝2+1＝3

∴T1O＝＝

∴T1（﹣，0），

同理可求得：T2（﹣1，0），T3（2﹣，0），T4（5，0），

∴或