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    阅读下面的题目及分析过程，再回答问题．
    设x，y为正实数，且x+y=6，求
    		x2+1
    +
    		y2+4
    的最小值．分析：（1）如图（1），作长为6的线段AB，过A、B两点在同侧各做AC⊥AB，BD⊥AB，使AC=1，BD=2．
    （2）设P是AB上的一个动点．设PA=x，PB=y，则x+y=6，连接PC、PD，则PC=
    		x2+1
    ，PD=
    		y2+4
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    （3）只要在AB上找到使PC+PD为最小的点P的位置，就可以计算出
    		x2+1
    +
    		y2+4
    的最小值．问题：①在图（2）中作出符合上述要求的点．
    ②求AP的长？
    ③通过上述作图，计算当x+y=6时，
    		x2+1
    +
    		y2+4
    的最小值为
     
    ．
    解决问题：
    为了丰富学生的课余生活，石家庄外国语学校决定举办一次机器人投篮大赛．规则是：操纵者站在距线段AB 2米的C处，如图（3）使机器人从A点出发，到C处取到篮球，然后行驶到B处，将篮球投入设在B处的篮筐内，用时少的即为胜利者，为了获得胜利，请你画出C的最佳位置；并求当AB=3米时机器人行驶的最短路程？精英家教网
    分析：①找出点C关于AB的对称点C′，连接C′D于AB交于点P，即为PC+PD为最小时所求的点的位置；
    ②根据对称，利用“SAS”证明△CAP≌△C′AP，得到∠APC′=∠APC，再根据对顶角相等和等量代换得到∠APC=∠CPB，又根据∠CAP=∠B=90°，由两对对应角相等的两三角形相似得到△APC∽△BPC，根据相似三角形的对应边成比例即可求出AP的长；
    ③根据题中的分析和作图可知：当x+y=6时，
    		x2+1
    +
    		y2+4
    的最小值为线段C′D的长，所以延长DB，过C′作C′E⊥DE，得到△DC′E为直角三角形，由CC′和C′E，根据勾股定理即可求出C′D的长；
    解决问题：
    作出点A关于l的对称点A′，连接A′B交l于点C，故点C为所求的最佳位置，由作图可知AA′的长，又AB的长，根据勾股定理即可求出A′B的长，求出AC+CB的最短距离，即为机器人走的最短距离．
    解答：精英家教网解：①延长线段CA，在延长线上截取AC′=AC，连接C′D于AB的交点即为点P，
    此时CP+PD最短，∴点P为所求作的点；

    ②∵AC=AC′，∠CAP=∠C′AP=90°，AP=AP，
    ∴△CAP≌△C′AP，
    ∵∠APC′=∠APC，又∠APC′=∠DPB，
    ∴∠APC=∠DPB，又∠CAP=∠B=90°，
    ∴△APC∽△BPD，
    ∴
    AC
    BD
    =
    AP
    BP
    ，即
    AP
    6-AP
    =
    1
    2
    ，
    解得：AP=2；

    ③根据题意可知：
    		x2+1
    +
    		y2+4
    的最小值为线段C′D的长，精英家教网
    延长DB，过C′作C′E⊥BD，垂足为点E，
    则AC=AC′=BE=1，故DE=3，又C′E=x+y=6，
    在直角三角形DC′E中，根据勾股定理得：C′D=
    		62+32
    =3
    		5
    ，
    ∴当x+y=6时，
    		x2+1
    +
    		y2+4
    的最小值为3
    		5
    ；
    解决问题：
    根据题意，画图形如下：
    过点A作直线l的垂线，以垂足为圆心，在直线l的上方找出点A关于l的对称点A′，
    连接A′B与直线l交于点C，此时AC=AC′，故AC+CB最短，∴点C为所求作的点，
    由对称可知AA′=4，又AB=3，
    在直角三角形A′AB中，根据勾股定理得：AC+CB=A′C+CB=A′B=
    		42+32
    =5米，
    则机器人行驶的最短距离为5米．
    故答案为：3
    		5
    ．
    点评：此题综合考查了对称知识，三角形相似的判断与性质，直角三角形的性质以及作图的方法．作图时得到的最短距离的原因是两点之间线段最短．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    31、阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
    已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．
    求证：AB=CD．
    分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
    现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    22、阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
    已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE，求证：AB=CD．
    （1）延长DE到F，使得EF=DE；
    （2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；
    （3）过C点作CF∥AB，交DE的延长线于F．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
    已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE，求证：AB=CD．
    分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证明AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
    现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．

    图（1）：延长DE到F使得EF=DE
    图（2）：作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F
    图（3）：过C点作CF∥AB交DE的延长线于F．

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    科目：初中数学 来源：2013-2014学年广东佛山南海桂城街道九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．

    已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．

    求证：AB=CD.

    分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．

    现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．

     

     

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