Question

已知抛物线y=

1

2

x²+bx+c经过点（1，-1）和C（0，-1），且与x轴交于A、B两点（A在B左边），直线x=m（m＞0）与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第一象限内，直线x上是否存在点P，使得以P、B、D为顶点的三角形与△OBC全等？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的情况下，过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，四边形AOPQ能否为平行四边形？若能，求Q点坐标；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）用待定系数法即可求出函数的解析式．
（2）本题要分两种情况进行讨论，由（1）不难得出A、B的坐标为（-1，0），（2，0）．那么如果要使以P、B、D为顶点的三角形与△OBC全等，△PBD也必为直角三角形且以PB为斜边．
①当△PBD≌△BCO时，BD=OC=1，PD=OB=2，据此可求出P点的坐标．
②当△PBD≌△CBO时，BO=BD=2，PD=OC=1，据此可求出P点的坐标．
（3）如果四边形AOPQ为平行四边形，那么PQ平行且相等于OA，因此P点的坐标向坐标平移1个单位就是Q点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可判断出Q点是否在抛物线上．

解答：解：（1）依题意，有：

1 2 +b+c=-1 c=-1

，
解得

b=- 1 2 c=-1

∴抛物线的解析式为y=

1

2

x²-

1

2

x-1．

（2）易知：A（-1，0），B（2，0），C（0，-1）；
∴OB=2，OC=1
①△PBD≌△BCO，BD=OC=1，PD=OB=2
∴OD=3，即P点坐标为（3，2）．
②△PBD≌△CBO，BO=BD=2，PD=OC=1，
∴OD=4，即P点坐标为（4，1）．

（3）∵四边形AOPQ为平行四边形，
∴PQ∥=OA
①当P点坐标为（3，2）时，Q点坐标为（2，2）．
当x=2时，y=

1

2

×2²-

1

2

×2-1=0，
因此这个Q点不在抛物线上．
②当P点坐标为（4，1）时，Q点坐标为（3，1）．
当x=3时，y=

1

2

×3²-

1

2

×3-1=2
因此Q点不在抛物线上．
综上所述，不存在符合条件的Q点．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形全等、平行四边形的判定和性质等重要知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．