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    【题目】在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，若AB＝4，BC＝4，CD＝1，问：在BC上是否存在点P，使得AP⊥PD？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

    【答案】存在，理由见解析，BP＝2

    【解析】

    利用△ABP∽△PCD得出∠BPA+∠DPC＝90°，即∠APD＝90°，求出BP的长即可．

    解：存在．

    如图所示，

    AP⊥PD，

    ∴∠APD＝90°，

    ∴∠APB+∠DPC＝90°，

    又∵DC⊥BC，

    ∴∠DCP＝90°，

    ∴∠PDC+∠DPC＝90°，

    ∴∠APB＝∠PDC，

    ∵∠B＝∠C，

    ∴△ABP∽△PCD，

    设BP＝x，则CP＝4﹣x，

    即

    即x（4﹣x）＝4，

    则x2﹣4x+4＝0，

    即（x﹣2）2＝0，

    解得x＝2，即BP＝2．

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    如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，则＝．提示：过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E．

    请根据上面的提示，写出得到“”这一结论完整的证明过程．

    结论应用：如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，AD平分∠BAC交BC于点D．请直接利用“问题探究”的结论，求线段CD的长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，抛物线与轴相交于，两点，顶点在第一象限，点在该抛物线上.

    （1）若点坐标为.

    ①求与的函数关系式；

    ②已知两点，，当抛物线与线段没有交点时，求的取值范围；

    （2）若点在该抛物线的曲线段上（不与点，重合），直线交轴于点，过点作轴于点，连接，.求证：.

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，已知A、B两点的坐标分别为（4，0）和（0，3），动点P从点A出发，以每秒2个长度单位的速度沿AO向O运动，在点P出发的同时，动直线EF从x轴出发，以每秒1个长度单位沿y轴方向向上平移，分别与y轴、线段AB交于EP、FP．设运动时间为ts（0＜t≤2）．

    （1）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△EOP与△AOB相似？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．

    （2）若△PEF是等腰三角形，求t的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】已知，如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x≤8），点E在边CD上，且CE＝CB，以AE为对角线作正方形AGEF．设正方形AGEF的面积y．

    （1）当点F在矩形ABCD的边上时，x＝　 　．

    （2）求y与x的函数关系式及y的取值范围．

    （3）当矩形ABCD的一条边将正方形AGEF的面积分为1：3两部分时，直接写出x的值．

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    【题目】如图，已知抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．

    （1）求抛物线L的函数表达式；

    （2）在抛物线L的对称轴上是否存在一点M，使△ACM周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

    （3）连接AC、BC，在抛物线L上是否存在一点N，使S△ABC＝2S△OCN？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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    【题目】将两块斜边长相等的等腰直角三角板按如图①摆放，斜边AB分别交CD，CE于M，N点．

    (1)如果把图①中的△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接FM，如图②，求证：△CMF≌△CMN；

    (2)将△CED绕点C旋转，则：

    ①当点M，N在AB上(不与点A，B重合)时，线段AM，MN，NB之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由；

    ②当点M在AB上，点N在AB的延长线上(如图③)时，①中的关系式是否仍然成立？

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