Question

【题目】在平面直角坐标系x0y中,对于图形G,若存在一个正方形γ,这个正方形的某条边与x轴垂直,且图形G上的所有的点都在该正方形的内部或者边上,则称该正方形γ为图形G的一个正覆盖.很显然,如果图形G存在一个正覆盖,则它的正覆盖有无数个,我们将图形G的所有正覆盖中边长最小的一个,称为它的紧覆盖.如图所示,图形G为三条线段和一个圆弧组成的封闭图形,图中的三个正方形均为图形G的正覆盖,其中正方形ABCD就是图形G的紧覆盖.

(1)对于半径为2的⊙0,它的紧覆盖的边长为 .

(2)如图1,点P为直线y=-2x+3上一动点,若线段OP的紧覆盖的边长为2,求点P的坐标;

(3)如图2,直线y=3x+3与x轴,y轴分别交于A,B,

①以0为圆心,r为半径的⊙0与线段AB有公共点,且由⊙0与线段AB组成的图形G的紧覆盖的边长小于4,直接写出r的取值范围;

②若在抛物线y=ax2+2ax-2(a≠0)上存在点C,使得△ABC的紧覆盖的边长为3,直接写出a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）4（2）(,2)或(2,-1)（3） ②a≥或a<-2

【解析】

(1) 由紧覆盖的定义可得边长

（2）线段OP的紧覆盖的边长为2，设点P的坐标为(x,y)，分|y|≥|x|及若|y|<|x|讨论可得答案;

(3)又 r为半径的⊙0与线段AB有公共点,且由⊙0与线段AB组成的图形G的紧覆盖的边长小于4可得答案；

（4）由在抛物线y= ax2+2ax-2 (a≠0)上存在点C,使得△ABC的紧覆盖的边长为3，可得答案.

(1)4;

(2)解:设点P的坐标为(x,y),有两种情况

①若|y|≥|x|,则线段OP的紧覆盖的边长为|y|=2,

当y=2时,-2x+3=2,得x=,符合题意,点P为(,2);

当y=-2时,-2x+3=-2,得x=-,不符合题意,舍去.

②若|y|<|x|,则线段OP的紧覆盖的边长为|x|=2,

当x=2时,y=-2x+3=-1,符合题意,点P为(2,-1);

当x=-2时,y=-2x+3=7,不符合题意,舍去.

综上,点P的坐标为(,2)或(2,-1)

(3)①

②a≥或a<-2