Question

16．如图，已知在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB、AC分别交于点D，E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若⊙O的直径为20，cosB=$\frac{1}{2}$，求阴影部分面积．

Answer 1

分析 （1）连接CD，根据直径所对的圆周角为90°得∠BDC=90°，再由等腰三角形的三线合一得出结论；
（2）根据中位线的定义可以知道：OD是△ABC的中位线，则OD∥AC，因为DF⊥AC，所以DF⊥OD，得出DF与⊙O相切；
（3）如图3，连接OE、BE，先根据特殊的三角函数值求出∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，求出直角△BEC各边的长，就可以求其面积，根据中线的性质可知△OEC的面积就是△BEC面积的-半，所求的阴影面积是扇形面积与△OEC的面积的差．

解答 证明：（1）如图1，连接CD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴点D是AB的中点；
（2）DF与⊙O相切，如图2，连接OD，
∵O是BC的中点，点D是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF与⊙O相切；
（3）如图3，连接OE、BE，
∵cos∠ABC=$\frac{1}{2}$，
∴∠ABC=60°，
∵AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ECB=60°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∴∠EOC=60°，
∵BC=20，
∴EC=10，
由勾股定理得：BE=$\sqrt{2{0}^{2}-1{0}^{2}}$=10$\sqrt{3}$，
∴S_△OEC=$\frac{1}{2}$S_△BEC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$BE•CE=$\frac{1}{4}$×10$\sqrt{3}$×10=25$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_扇形OEC-S_△OEC=$\frac{60π×1{0}^{2}}{360}$-25$\sqrt{3}$=$\frac{50π}{3}$-25$\sqrt{3}$．

点评 本题是圆的综合题，考查了圆的切线、等腰三角形及与圆有关的性质，明确切线的判定：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线；在圆中要熟练掌握：①直径所对的圆周角为90°，②扇形面积=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$（n为圆心角的度数，R为扇形半径），③直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．