Question

如图，矩形A′B′C′O′是矩形OABC（边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的，O′点在x轴的正半轴上，B点的坐标为（1，3）．O′C′与AB交于D点．
（1）如果二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过O，O′两点且图象顶点M的纵坐标为-1，求这个二次函数的解析式；
（2）求D点的坐标；
（3）若将直线OC绕点O旋转α度（0＜α＜90）后与抛物线的另一个交点为点P，则以O、O′、B、P为顶点的四边形能否是平行四边形？若能，求出tanα的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）因为B点坐标为（1，3），
所以C点坐标为（0，3），A点坐标为（1，0），连接OB，O′B，
所以OA=1，AB=3；根据旋转的性质可知OB=O′B，
根据勾股定理，AO′=
====1，
则OO'=1+1=2，O'坐标为（2，0），对称轴为x==1，
又因为图象顶点M的纵坐标为-1，
∴M点坐标为（1，-1）．
设解析式为y=a（x-1）²-1，
把（0，0）代入解析式
得0=a-1．a=1，原式可化为y=x²-2x．

（2）因为∠C′=∠DAO'，∠C'DB=∠ADO'，BC=AO'，
所以△C'DB≌△ADO'，于是BD=O'D．
设AD=x，所以O'D=BD=3-x，在Rt△DAO'中，x²+1=（3-x）²，
解得x=，
所以D点的坐标为（1，）．

（3）如图所示，延长CB、BC分别交抛物线于P₁，P₂．由于B点纵坐标为3且BC平行于x轴，
故P₁、P₂纵坐标为3，代入抛物线解析式，
得：x²-2x=3，
解得x₁=3，x₂=-1．
于是BP₁=3-1=2，BP₂=1-（-1）=2，
故BP₁∥OO'且BP₁=OO'，BP₂∥OO'且BP₂=OO'，
于是OO'P₁B和OO'P₂B均为平行四边形．
则以O、O′、B、P为顶点的四边形是平行四边形，
tanα===1或tanα==．
于是tanα=1或．
分析：（1）因为B点坐标为（1，3），所以C点坐标为（0，3），A点坐标为（1，0），连接OB，O′B，由勾股定理可求出OB的长，根据旋转的性质可知OB=O′B，由勾股定理可求出O′A即可求出O′点的坐标．因为二次函数的图象过O，O′两点，根据二次函数图象上点的坐标特点可求出对称轴直线，可求出M点的坐标．再用待定系数法即可求出函数的解析式．
（2）由于Rt△BC′D≌Rt△O′AD，可知DO′=BD，设AD=x，则可表示出D利用勾股定理；
（3）假设以O、O′、B、P为顶点的四边形是平行四边形，作出图形，求出P点坐标，再通过判断BP₁∥=OO'，BP₂∥=OO'，得出四边形是平行四边形的结论．
点评：考查学生的对存在问题和动点问题的思考方法及数学思想的考查．要注意结合图形，分情况讨论．