Question

3．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果线段OP与图形W无公共点，则称点P为关于图形W的“阳光点”；如果线段OP与图形W有公共点，则称点P为关于图形W的“阴影点”．
（1）如图1，已知点A（1，3），B（1，1），连接AB．
①在P₁（1，4），P₂（1，2），P₃（2，3），P₄（2，1）这四个点中，关于线段AB的“阳光点”是P₁，P₄；
②线段A₁B₁∥AB，A₁B₁上的所有点都是关于线段AB的“阴影点”，且当线段A₁B₁向上或向下平移时，都会有A₁B₁上的点成为关于线段AB的“阳光点”，若，A₁B₁的长为4，且点A₁在B₁的上方，则点A₁的坐标为（2，6）．
（2）如图2，已知点C（1，$\sqrt{3}$），⊙C与y轴相切于点D，若⊙E的半径为$\frac{3}{2}$，圆心E在直线l：y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$上，且⊙E的所有点都是关于⊙C的“阴影点”，求点E的横坐标的取值范围；
（3）如图3，⊙M的半径为3，点M到原点的结距离为5，点N是⊙M上到原点距离最近的点，点Q和T是坐标平面的两个动点，且⊙M上的所有点都是关于△NQT的“阴影点”直接写出△NQT的周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）①根据新定义直接判断，②由A₁B₁∥AB得到$\frac{OA}{O{A}_{1}}=\frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，求出即可；
（2）分两种情况计算①当⊙E与y轴相切时，②当⊙E与直线OI相切时，求出角，线段用锐角三角函数求解即可；
（3）先判断出只有当N'TQN''共线时，l取得最小值N'N''，Q，T的位置，用△OGM∽△OHQ，得出比例式计算出HQ，最后用勾股定理求解即可．

解答 解（1）①线段OP与图形W无公共点，则称点P为关于图形W的“阳光点”，
∴OP₁与线段AB没有公共点，OP₂与线段AB有公共点（1，2），OP₃与线段AB有公共点（1，$\frac{3}{2}$），OP₄与线段AB没公共点，
∴关于线段AB的“阳光点”是P₁，P₄，
故答案为P₁，P₄
②∵A₁B₁∥AB，
∴$\frac{OA}{O{A}_{1}}=\frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∵点A₁在B₁的上方
∴A₁（2，6），
故答案为（2，6），
（2）情况一：
当⊙E与y轴相切时，设切点为F，连接EF
∵⊙E与y轴相切于点F，
∴EF⊥y轴
∵⊙E的半径为$\frac{3}{2}$
∴EF=$\frac{3}{2}$
∴此时点E的横坐标为$\frac{3}{2}$
情况二：
设直线l分别与x轴，y轴交于点G，H，连接CD，CO，过点O作⊙C的另一条切线OI，切点为I，直线OI与直线l交于点J，
当⊙E与直线OI相切时，过点E作EK⊥y轴于点K
∵⊙C与y轴相切于点D，
∴CD⊥y轴
∵点C的坐标（1，$\sqrt{3}$） 
∴tan∠COD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴∠COD=30°，
∵⊙C与OI相切于点I
∴∠COI=∠COD=30°
∴∠HOJ=∠COI+∠COD=90°
∵直线l：y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$分别与x轴，y轴交于点G，H，
∴点 G（4，0），H（0，4$\sqrt{3}$）
∴tan∠OHG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴∠OHG=30°
∴∠OJH=180°-∠HOJ-∠OHJ=90°
∴HG⊥OJ
∵⊙E与直线OJ相切，
∴切点为点J
∴EJ=$\frac{3}{2}$
∵在Rt△OHJ中，HJ=OH×cos∠OHJ=6
∴HE=HJ-EJ=$\frac{9}{2}$
∴KH=$\frac{1}{2}$HE=$\frac{9}{4}$
∴此时点E的横坐标为$\frac{9}{4}$
可知，点E在直线l上，从情况一中的位置运动到情况二中的位置时，都满足题意，所以点E的横坐标的取值范围 $\frac{3}{2}$≤x_E≤$\frac{9}{4}$

（3）如图：
连接OM，交圆于N，OA与OB分别于⊙M相切，
则N点在OA与OB上对称点分别为N'与N''；连接N'N''交OA于T，交OB于Q，交OM于C，
△NTQ的周长l=TN+TQ+QN=TN'+TQ+QN''；
只有当N'、T、Q、N''共线时，l取得最小值N'N''，
此时的T与Q即为所求；
由辅助线知，∠MHO=∠NDO=90°，NN″=2CN″，
sin∠MOH=$\frac{MH}{OM}$=$\frac{DN}{ON}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{3}{5}$=$\frac{DN}{2}$，
∴DN=$\frac{6}{5}$，
∴NN″=2DN=$\frac{12}{5}$，

∵∠N''+∠DQN''=90°，
∠CQO+∠COQ=90°，
∴∠N″=∠MOH，
∴sin∠N″=$\frac{3}{5}$，
∴cos∠N″=$\frac{4}{5}$=$\frac{CN″}{NN″}$，
∴CN″=$\frac{48}{25}$，
∴N'N″=2CN″=$\frac{96}{25}$，
∴△NQT的周长最小值l=N'N″=$\frac{96}{25}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了新定义的理解，相似三角形的性质和判定，圆的切线的性质，解本题的关键是理解新定义，难点是确定△NTQ周长最小时的点Q，T的位置．