Question

如图，已知等腰△ABC中，AB=AC=2，点D在边BC的反向延长线上，且DB=3，点E在边BC的延长线上，且∠EAC=∠D．
（1）求线段CE的长；
（2）求证：

AC2

AE2

=

BD

BE

；
（3）当AC平分∠BAE时，求线段AD的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）根据条件可证明△ACE∽△DBA，利用相似三角形的对应边成比例可求得CE；
（2）可证明△DBA∽△DAE，可得

CA

CD

=

AB

DA

=

AB

DA

，根据相似三角形的性质解答即可．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠EAC=∠D，
∴△DBA∽△ACE，
∴

DB

AC

=

AB

CE

，
∵AB=AC=2，DB=3，
∴

3

2

=

2

CE

，
∴CE=

4

3

；
（2）∵△ACE∽△ADB，
∴

AC

BD

=

CE

AB

，
∴AC²=BD•CE，
∵∠ACE=∠D+∠BAD+∠BAC，∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE，
∴∠ACE=∠DAE且∠E=∠E，
∴△ACE∽△DAE，
∴

AE

DE

=

CE

AE

，
∴AE²=ED•CE，
∴

AC2

AE2

=

BD

DE

．
（3）∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC=∠CAB．
∵∠EAC=∠D，
∴∠CAB=∠D．
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CAB∽△CDA，
∴

CA

CD

=

AB

DA

=

AB

DA

，
∴

2

3+y

=

2

x

，
即3+

1

3

x²-

13

3

=x，
解得x₁=4，x₂=-1（舍去），
即AD=4．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，熟悉图形的特点，从中找到相关图形是解题的关键．