Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=3，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD、AD上，则AP+PQ最小值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：设BE=x，则DE=3x，

∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，

∴△ABE∽△DAE，

∴AE2=BEDE，即AE2=3x2，

∴AE= x，

在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB2=AE2+BE2，即32=（ x）2+x2，解得x= ，

∴AE= ，DE= ，BE= ，

∴AD=3 ，

如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，

则A′A=2AE=3 =AD=A′D

∴△AA′D是等边三角形，

∵PA=PA′，

∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小，

又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，

∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE= ，

故答案是： ．

【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对矩形的性质的理解，了解矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．