Question

设a、b、c、d都是自然数，且a⁵=b⁴，c³=d²，a-c=17，求d-b的值．

Answer 1

分析：设a⁵=b⁴=m²⁰，c³=d²=n⁶，这样a、b可用m的式子表示．c、d可用n的式子表示，减少字母的个数，降低问题的难度．

解答：解：首先可以这样考虑，a⁵=b⁴，可知a必为一个4次方的数，b为5次方的数，
c³=d²，c为2次方的数，d为3次方的数，
设a=m⁵，b=m⁴，c=n³，d=n²，
a-c=17，即（m²+n）（m²-n）=17，
∵17是质数．m²+n，m²-n是自然数，m²+n＞m²-n，
∴m²+n=17，m²-n=1，
∴m=3，n=8，
观察后可得：a=81，c=64，
∴b-d=n³-m⁵=8³-3⁵=243-512=-269．

点评：本题主要考查了数的性质，能够理解：a必为一个4次方的数，b为5次方的数，c为2次方的数，d为3次方的数，是解决本题的关键．