Question

【题目】某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）．问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848）．

Answer 1

【答案】解：如图，
校门关闭时，取其中一个菱形ABCD．
根据题意，得∠BAD=60°，AB=0.3米．
∵在菱形ABCD中，AB=AD，
∴△BAD是等边三角形，
∴BD=AB=0.3米，
∴大门的宽是：0.3×20≈6（米）；
校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1 ．
根据题意，得∠B1A1D1=10°，A1B1=0.3米．
∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1 ， ∠B1A1O1=5°，
∴在Rt△A1B1O1中，
B1O1=sin∠B1A1O1A1B1=sin5°×0.3=0.02616（米），
∴B1D1=2B1O1=0.05232米，
∴伸缩门的宽是：0.05232×20=1.0464米；
∴校门打开的宽度为：6﹣1.0464=4.9536≈5（米）．
故校门打开了5米．

【解析】先求出校门关闭时，20个菱形的宽即大门的宽；再求出校门打开时，20个菱形的宽即伸缩门的宽；然后将它们相减即可．
【考点精析】关于本题考查的菱形的性质，需要了解菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半才能得出正确答案．