Question

如图，四边形OABC为直角梯形，BC∥OA，A（9，0），C（0，4），AB=5． 点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）t为何值时，直线MN将梯形OABC的面积分成1：2两部分；
（3）当t=1时，连接AC、MN交于点P，在平面内是否存在点Q，使得以点N、P、A、Q为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）作BD⊥OA于点D，利用勾股定理求出AD的值，从而求出B点的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）梯形面积分为1：2的两部分，要注意分两种去情况进行分别计算，利用面积比建立等量关系求出t的值．
（3）M、N两点的坐标求出MN的解析式和AC的解析式，利用直线与方程组的关系求出P点坐标，利用三角形全等求出Q、Q₁的坐标，求出直线Q₁P、QN的解析式，再求出其交点坐标就是Q₂的坐标．

解答：解：（1）作BD⊥0A于点D．
∴BD=4，
∵AB=5，
由勾股定理得AD=3
∴OD=6
∴B（6，4）
设直线AB的解析式为：y=kx+b，由题意得

4=6k+b 0=9k+b

解得：

k=- 4 3 b=12

∴直线AB的解析式为：y= -

4

3

x+12；

（2）设t秒后直线MN将梯形OABC的面积分成1：2两部分，则
BN=t，CN=6-t，OM=2t，MA=9-2t
当S_{四边形OMNC}：S_{四边形NMAB}=1：2时

4(6-t+2t) 2

4(t+9-2t) 2

=

1

2

解得：t=-1（舍去）
当S_{四边形OMNC}：S_{四边形NMAB}=2：1时

4(6-t+2t) 2

4(t+9-2t) 2

=

2

1

，
解得t=4
∴t=4时，直线MN将梯形OABC的面积分成1：2两部分．

（3）存在满足条件的Q点，如图：Q（9.5，2），Q₁（8.5，-2），Q₂（0.5，6）．

点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了用待定系数法求函数的解析式，图形的面积，直线的解析式与二元一次方程组的关系，勾股定理及三角形全等的性质的运用．