Question

2．已知，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，∠APB=50°，C为⊙O上一点，（不与A、B重合），则∠ACB=65或115度．

Answer 1

分析 连结OA、OB，如图，先根据切线的性质得∠PAO=∠PBO=90°，再根据四边形内角和计算出∠AOB=180°-∠APB=130°，然后分类讨论：当点C在优弧AB上，根据圆周角定理易得∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB；当点C在劣弧AB上，即C′的位置，根据圆内接四边形的性质易得∠AC′B=180°-∠ACB，问题得解．

解答 解：连结OA、OB，如图，
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=180°-∠APB=180°-50°=130°，
当点C在优弧AB上，则∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=65°；
当点C在劣弧AB上，即C′的位置，则∠AC′B=180°-∠ACB=180°-65°=115°，
即∠ACB为65°或115°．
故答案为65或115．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和分类讨论思想的运用．