Question

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其中AI(1，0)，C(0，－3)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P在抛物线上运动(点P异于点A)．

①如图l．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；

②如图2．当∠PCB＝∠BCA时，求直线CP的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题意，得，解得 　　∴抛物线的解析式为． 　　(2)①令，解得∴B(3，0) 　　当点P在x轴上方时，如图1， 　　过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P， 　　易求直线BC的解析式为， 　　∴设直线AP的解析式为， 　　∵直线AP过点A(1，0)，代入求得． 　　∴直线AP的解析式为 　　解方程组，得 　　∴点 　　当点P在x轴下方时，如图1 　　设直线交y轴于点， 　　把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点， 　　得直线的解析式为， 　　解方程组，得 　　∴ 　　综上所述，点P的坐标为：， 　　②∵ 　　∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45° 　　设直线CP的解析式为 　　如图2，延长CP交x轴于点Q， 　　设∠OCA＝α，则∠ACB＝45°α 　　∵∠PCB＝∠BCA∴∠PCB＝45°α 　　∴∠OQC＝∠OBC－∠PCB＝45°－(45°α)＝α 　　∴∠OCA＝∠OQC 　　又∵∠AOC＝∠COQ＝90° 　　∴Rt△AOC∽Rt△COQ 　　∴，∴，∴OQ＝9，∴ 　　∵直线CP过点，∴ 　　∴ 　　∴直线CP的解析式为． 　　其它方法略．