Question

如图：在Rt三角形ABC中，∠ABC=90，BA=BC．点D是AB的中点，连接 CD，过点B作BC作垂直CD，分别交CD、CA于点E、F．与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：（1）

AG

AB

=

FG

FB

；（2）△CBD∽△BAG（3）sin∠ABG=

5

5

；（4）AF=

2

3

AB，其中正确的结论序号是：

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：根据同角的余角相等求出∠ABG=∠BCD，然后利用“角边角”证明△ABC≌△BCD，得出AG=BD，再证明△AFG∽△CFB，得出比例式

AG

CB

=

FG

FB

，即可得出（1）正确；由
∠GAB=∠ABC=90°，∠G=∠BDC，证出△CBD∽△BAG，（2）正确；由AG=AD=BD，BG=

5

AG，即可得出（3）正确；由△AFG∽△CFB，得出

AF

CF

=

AG

BC

=

1

2

，AF=

1

3

AC，AC=

2

AB，得出AF=

2

3

AB，（4）错误．

解答：解：∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠ABG+∠CBG=90°，∠BCD+∠CBG=90°，
∴∠ABG=∠BCD，
在△ABC和△BCD中，

∠ABG=∠BCD amp;  AB=BC amp;  ∠BAG=∠CBD amp;

∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD，
∵点D是AB的中点，
∴BD=

1

2

AB，AG=

1

2

BC，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴

AG

CB

=

FG

FB

∵BA=BC，
∴

AG

AB

=

FG

FB

；故（1）正确；
∵GA⊥AB，
∴∠GAB=90°，
∴∠GAB=∠ABC=90°，GA∥BC，
∴∠G=∠CBE，
∵∠CBE=∠BDC，
∴∠G=∠BDC，
∴△CBD∽△BAG；故（2）正确；
∵AG=AD=BD，
∴BG=

5

AG，
∴sin∠ABG=

AG

BG

=

AG

5 AG

=

5

5

；故（3）正确；
（4）∵△AFG∽△CFB，

AF

CF

=

AG

BC

=

1

2

∴AF=

1

2

CF，
∴AF=

1

3

AC，
∵AC=

2

AB，
∴AF=

2

3

AB；故（4）错误；
故答案为：（1）（2）（3）．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键．