Question

【题目】抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线上求一点P，使S△PAB=S△ABC，写出P点的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）所求P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）；（3）点Q的坐标是（﹣1，2）．

【解析】

（1）将A（-3，0），B（1，0）两点代入y=-x2+bx+c，利用待定系数法求解即可求得答案；

（2）首先求得点C的坐标为（0，3），然后根据同底等高的两个三角形面积相等，可得P点的纵坐标为±3，将y=±3分别代入抛物线的解析式，求出x的值，即可求得P点的坐标；

（3）根据两点之间线段最短可得Q点是AC与对称轴的交点．利用待定系数法求出直线AC的解析式，将抛物线的对称轴方程x=-1代入求出y的值，即可得到点Q的坐标．

（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；

（2）∵y=﹣x2﹣2x+3，

∴x=0时，y=3，

∴点C的坐标为（0，3）．

设在抛物线上存在一点P（x，y），使S△PAB=S△ABC，

则|y|=3，即y=±3．

如果y=3，那么﹣x2﹣2x+3=3，解得x=0或﹣2，

x=0时与C点重合，舍去，所以点P（﹣2，3）；

如果y=﹣3，那么﹣x2﹣2x+3=﹣3，解得x=﹣1±，

所以点P（﹣1±，﹣3）；

综上所述，所求P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）；

（3）连结AC与抛物线的对称轴交于点Q，此时△QBC的周长最小．

设直线AC的解析式为：y=mx+n，

∵A（﹣3，0），C（0，3），

∴，解得：，

∴直线AC的解析式为：y=x+3．

∵y=﹣x2﹣2x+3的对称轴是直线x=﹣1，

∴当x=﹣1时，y=﹣1+3=2，

∴点Q的坐标是（﹣1，2）．