Question

1．已知：如图（1）所示，△ABC中，AB⊥AC，AB=AC，AM是过A点的一条直线
（1）若点B和点C在AM的同侧，BM⊥AM于M，CN⊥AN于N，试说明：CN=MN-BM；
（2）如果直线AM绕点A旋转到图（2）所示的位置时（BM＜CN），其余条件不变，请问CN、MC、BM的关系如何，并证明．

Answer 1

分析 （1）易证∠ABM=∠CAN，即可证明△ABM≌△CAN，可得BM=AN，AM=CN，根据MN=AM+AN，即可解题；
（2）易证∠ABM=∠CAN，即可证明△ABM≌△CAN，可得BM=AN，AM=CN，根据MN=AM-AN，即可解题．

解答 证明：（1）∵∠MAB+∠ABM=90°，∠MAB+∠CAN=90°，
∴∠ABM=∠CAN，
在△ABM和△CAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠CNA=90°}\\{∠ABM=∠CAN}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴BM=AN，AM=CN，
∵MN=AM+AN，
∴MN=CN+BM，
∴CN=MN-BM；
（2）MN=CN-BM，理由如下：
∵∠MAB+∠ABM=90°，∠MAB+∠CAN=90°，
∴∠ABM=∠CAN，
在△ABM和△CAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠CNA=90°}\\{∠ABM=∠CAN}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴BM=AN，AM=CN，
∵MN=AM-AN，
∴MN=CN-BM．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABM≌△CAN是解题的关键．