Question

已知抛物线y=x²-2（m+1）x+m+7的顶点在x轴上，求证：关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m+7=0有两个相等的实数根，并求出这两个根．

Answer 1

考点：根的判别式,二次函数的性质

专题：证明题

分析：根据二次函数的性质由抛物线y=x²-2（m+1）x+m+7的顶点在x轴上得到△=4（m+1）²-4（m+7）=0，则根据判别式的意义可判断关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m+7=0有两个相等的实数根，然后解方程4（m+1）²-4（m+7）=0得m₁=-3，m₂=2，再把m的值分别代入方程，利用因式分解法解方程即可．

解答：证明：∵抛物线y=x²-2（m+1）x+m+7的顶点在x轴上，
△=4（m+1）²-4（m+7）=0，
∴关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m+7=0有两个相等的实数根，
解方程4（m+1）²-4（m+7）=0得m₁=-3，m₂=2，
当m=-3时，x²+4x+4=0，解得x₁=x₂=-2；
当m=2时，x²-6x+9=0，解得x₁=x₂=3．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．也考查了二次函数的性质．